Download PDF by Antoine Chambert-Loir: Algèbre [Lecture notes]

By Antoine Chambert-Loir

Show description

Read or Download Algèbre [Lecture notes] PDF

Similar abstract books

Download e-book for kindle: Twisted L-functions and monodromy by Nicholas M. Katz

For centuries, the research of elliptic curves has performed a valuable function in arithmetic. The previous century specifically has noticeable large development during this learn, from Mordell's theorem in 1922 to the paintings of Wiles and Taylor-Wiles in 1994. still, there stay many basic questions the place we don't even be aware of what kind of solutions to anticipate.

Extra info for Algèbre [Lecture notes]

Sample text

Le sous-groupe) de A engendré par S et on le note ⟨S⟩. 7). — Soit n un entier ; soit m un entier tel que 1 ⩽ m ⩽ n et soit (a1 , . . , a m ) une suite d’éléments de {1, . . , n}, deux à deux distincts. On note (a1 a2 . . , a m−1 sur a m et a m sur a1 , et qui fixe tout autre élément de {1, . . , n}. Les ensembles suivants engendrent Sn : a) b) c) d) L’ensemble S = {(i j) ; 1 ⩽ i < j ⩽ n} ; L’ensemble S′ = {(i i + 1) ; 1 ⩽ i < n} ; L’ensemble S′′ = {(1 i) ; 2 ⩽ i ⩽ n} ; L’ensemble T = {(1 2), (1 2 .

Observons tout de suite que si A est abélien, alors tout sous-groupe de A est distingué. Plus généralement, on appelle sous-groupe caractéristique d’un groupe A tout sous-groupe B tel que pour tout automorphisme f de A, on ait f (B) ⊂ B. En particulier, un sous-groupe caractéristique est distingué. Le sous-groupe {e} et le sous-groupe A sont des sous-groupes caractéristiques de A. 2). — Le centre Z d’un groupe A est un sous-groupe caractéristique (et donc distingué). Soit en effet f ∈ Aut(A) et a ∈ Z ; démontrons que f (a) ∈ Z.

Cela prouve que j est injective. b) Soit g un élément de F(S) distinct de e et soit (s1 , . . , s n ) ∈ M′ (S)0 l’unique mot réduit d’image g. On démontre par récurrence sur n que g d ≠ e pour tout entier d ⩾ 1. Il y a trois cas. Supposons d’abord que (s1 , s n ) ne soit pas de la forme (s, s′ ) ou (s′ , s), pour s ∈ S. Dans ce cas, le mot (s1 , . . , s n , s1 , . . , s n , . . , s1 , . . , s n ) = (s1 , . . , s n )d est réduit, pour tout d ⩾ 1, et n’est pas le mot vide ; comme son image est égale à g d , cela entraîne que g d ≠ e.

Download PDF sample

Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir


by Thomas
4.0

Rated 4.40 of 5 – based on 13 votes