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By Jean-Robert Belliard

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For centuries, the examine of elliptic curves has performed a relevant function in arithmetic. The prior century specifically has obvious large growth during this research, from Mordell's theorem in 1922 to the paintings of Wiles and Taylor-Wiles in 1994. still, there stay many primary questions the place we don't even understand what kind of solutions to count on.

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33 34 2. On prend E = kn [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficient dans k de degré inférieur ou égal à n. Déterminer la forme linéaire coordonnée d’indice j de la base f0 (X) = 1, f1 (X) = X, · · · , fn (X) = X(X − 1) · · · (X − n + 1) . n! Exemple : Soit E un k-espace vectoriel muni d’une base (ei )i∈I . Soit ϕ la forme ∗ linéaire définie par ∀i ∈ I, ϕ(ei ) = 1. Si I est fini alors ϕ = i∈I ei est dans l’espace vectoriel engendré par les e∗i . Si au contraire I n’est pas fini alors ϕ n’est pas combinaison linéaire finie des e∗i : en effet pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I et tout i ∈ I \ J on a j∈J λj e∗j (ei ) = 0 = 1 = ϕ(ei ).

En utilisant l’anti-symétrie de f on obtient λσ f (x, y) = f (x, λy) = −f (λy, x) = λ(−f (y, x)) = λf (x, y). Et puisque f (x, y) = 0 il suit λ = λσ . 11 Une forme f de E dans k est dite hermitienne lorsque ∀x, y ∈ E, f (x, y) = f (y, x)σ . 1 Soit f une forme σ-hermitienne non nulle. Montrer que σ est une involution. 12 Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2, et f une forme σ-sesquilinéaire non dégénérée, reflexive. Alors 1. σ est une involution. 2. Si σ est l’identité, f est bilinéaire symétrique ou antisymétrique.

Démonstration. Puisque q est régulière il existe y ∈ E telle que f (x, y) = 0. Alors P = x, y convient. 4 Soit (E, q) un plan hyperbolique. Il existe une base e = (e1 , e2 ) et une base ε = (ε1 , ε2 ) telle que Mate (q) = 0 1 1 0 et Matε (q) = 1 0 0 −1 On dit que la base e est une base hyperbolique. Démonstration. Par définition il existe e1 ∈ E avec q(e1 ) = 0. Puisque q est non dégénérée il existe y ∈ E avec f (e1 , y) = 1. Alors y n’est pas colinéaire à e1 et pour tout λ ∈ k on a f (e1 , λe1 + y) = 1 et q(λe1 + y) = 2λ + q(y).

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Algèbre générale by Jean-Robert Belliard


by Joseph
4.4

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