Abstract Algebra: A Concrete Introduction - download pdf or read online

By Robert H. Redfield

ISBN-10: 020143721X

ISBN-13: 9780201437218

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Il existe des éléments x,, . , x, de X et des entiers n,, . x>. Soit Y = {xi,. , x,}. L'injection canonique de Y dans X se prolonge en un homomorphisme a: F(Y) + F(X) ; par ailleurs, soit P l'homomorphisme de F(X) dans F(Y) dont la restriction à Y est l'identité et qui applique X - Y dans (1). On a P(a(y)) = y pour y E Y, donc P a est l7automorphisme identique de F(Y). D'après la prop. 2, le groupe G = F ( Y )/F$"(Y) est un p-groupe fini. Sif est le composé de p et de l'homomorphisme canonique de F ( Y ) sur G, on a f ( w ) # 1.

La suite (FLP)(X)),,, est une filtration centrale entière sur F(X), qui est séparée car y est injectif (no3, th. 1). On l'appelle la p-jïltration de F(X). PROPOSITION 2. -Supposons X $ni. Pour tout entier n 2 1, le groupe F(X)/FF)(X) est un p-groupe $ni de classe de nilpotence < n. Raisonnant par récurrence sur n, il suffit de prouver que Fn)(X)/FLpi,(X) est un p-groupe commutatif fini pour tout n > 1. Pour tout w E FLp)(X),l'élément y ( w ) - 1 de Â(X) est d'ordre 2 n; on note Sn(w)la composante homogène de degré n de y(w) - 1.

On identifie X à ses images dans F ( X ) et A ( X ) . 1. Dans  ( X ) on définit une multiplication par la règle pour a = (a,) et b = (b,) dans  ( X ) . O n sait ( A C , III, $ 2, no 12, Exemple 1 ) que  ( X ) est une algèbre associative et que A ( X ) s'identifie à la sous-algèbre de  ( X ) formée des suites dont tous les termes sont nuls à l'exception d'un nombre fini. On munit  ( X ) de la topologie produit des topologies discrètes des facteurs A n ( X );cette topologie fait de  ( X ) une algèbre topologique séparée et complète, l'anneau K étant muni de la topologie discrète, et A ( X ) est dense dans  ( x ) .

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by Paul
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